[AOJ] No. 0633 ぬいぐるみの整理 (Plush Toys)

問題

方針

素直に浮かぶ方針は、並び方を全通り試すという方法ですが、このときの場合の数は、\( M!\) となるので、計算量が多すぎます。ここで、次のことに着目します。ぬいぐるみを \( k \) 種類整列済みであるとき、\( k + 1 \) 種目のぬいぐるみを新たに整列させるときに掛かるコストは、\( k \) 種整列させたときの順序に依存しません。このことを利用して、bitDP を行います。

累積和

bitDP を行うときの前段階として、ぬいぐるみの累積和を計算します。ぬいぐるみは \( M \) 種あるので、二次元配列で累積和を管理します。ここで、配列 \( b_{i, j}\) を ぬいぐるみ \( i \) が左から \( j \) 個目までに累積している数とします。

bitDP

ぬいぐるみを左から整列させるとします。整列済みのぬいぐるみの集合 \( i \) をビット列で表し、フラグが立っているものを整列済みのるいぐるみとします。ぬいぐるみ \( j \) だけを含む集合は、\( 2^{j} – 1\) と表すことができます。ここで、\( f(i) \) を集合 \( i \) におけるぬいぐるみの総数とします。このとき、あらたにぬいぐるみ \( j \) を整列させるとき、\( f(i) \) から、\( f(i) + f(2^j – 1) \) までぬいぐるみ \( j \) を整列させることになります。

コード