[yukicoder] No. 847 Divisors of Power

2019年7月6日

問題

方針

素因数分解

\( N \) を素数 \( p_i \) と 正の整数 \( a_i \) を用いて、 \( N = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_n^{a_n} \) と表すと、

\[ N^K = p_1^{a_1K}p_2^{a_2K} \cdots p_n^{a_nK} \]

と表現できます。\( N^K \) の約数を、\( f(b_1, b_2, \cdots, b_n) \ (0 \leq b_i \leq a_iK)\) とすると、

\[ f(b_1, b_2, \cdots, b_n) = p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_n^{b_n}\]

となります。

深さ優先探索

\( f(b_1, b_2, \cdots, b_n) \) の \( b_i \) 組み合わせを全探索します。どのように全探索をするかというと、深さ優先探索で、枝刈りをしながら行います。下の図がイメージになります。

 

掛け算を行いながら深さ優先探索を行うので、その値が \( M \) を超えたとき、その探索を止めます。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

vector<set<ll>> v;

ll N, K, M;
int cnt = 0;
void dfs(int n, ll x) {
  if (v.size() == n) {
    cnt++;
    return;
  }
  for (ll i : v[n]) {
    if (x * i <= M) {
      dfs(n + 1, x * i);
    } else {
      return;
    }
  }
}
int main() {
  cin >> N >> K >> M;
  map<ll, ll> m;
  ll t = N;
  for (int i = 2; i * i <= N; i++) {
    while (t % i == 0) {
      t /= i;
      m[i]++;
    }
    if (t == 1) break;
  }
  if (t != 1) {
    m[t]++;
  }
  for (auto i = m.begin(); i != m.end(); i++) {
    ll p = i->first;
    ll k = K * i->second;
    ll cnt = 1;
    ll P = p;
    set<ll> s{1};
    while (P <= M && cnt <= k) {
      s.insert(P);
      P *= p;
      cnt++;
    }
    if (s.size() != 1) {
      v.push_back(s);
    }
  }
  
  dfs(0, 1);
  cout << cnt << "\n";
  return 0;
}