[yukicoder] No. 1233 割り切れない気持ち

2020年9月19日2020年12月13日

問題

方針

\[ x \bmod y = x – y \left \lfloor \dfrac{x}{y} \right \rfloor \] であることを利用して、

\[ \begin{eqnarray}
\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} A_i \bmod A_j &=& \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{N} \left ( A_i – A_j \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor \right)\\
&=& \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} A_i  – \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} A_j \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor \\
&=& N \sum_{i = 1}^{N} A_i  – \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} A_j \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor
\end{eqnarray}\]

となります。ここで、

\[ \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor\]

について考えます。自然数 \( k \) を用いて、\( A_i \) が

\[ kA_j \leq A_i \leq (k + 1)A_j – 1\]

を満たすとき、

\[ k \leq \dfrac{A_i}{A_j} \leq k + 1 – \dfrac{1}{A_j}\]

より、

\[ \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor = k\]

となります。したがって、\( A_j \) を固定し、\( k \) を動かすことで \( A_i \) を走査します。ここで、\( A_i \) の重複のない集合を \( s \)、\( A_i \) の頻度を \( b(A_i) \)、頻度の累積和を \( c(A_i) \) とします。

このとき、自然数 \( t_i \) を

\[ t_i = \left \lfloor \dfrac{2 \cdot 10^5}{s_i} \right \rfloor \]

として、

\[ \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} A_j \left \lfloor \dfrac{A_i}{A_j} \right \rfloor =
\sum_{i = 1}^{|s|} \sum_{k = 1}^{t_i} (c((k+1)s_i- 1) – c(ks_i – 1))s_ikb(s_i)\]

となります。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll MAX = 200005;
ll b[MAX + 1]{};
ll c[MAX + 1]{};

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    ll A[N];
    ll sum = 0;
    set<int> s;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> A[i];
        b[A[i]]++;
        s.insert(A[i]);
        sum += A[i];
    }
    
    for (int i = 1; i <= MAX; i++) {
        c[i] = c[i - 1] + b[i]; 
    }
    ll ans = sum * N;

    for (ll i : s) {
        if (i == 1) {
            ans -= b[1] * sum;
            continue;
        }
        for (ll k = 1; k <= 200000 / i; k++) {
            ll l = i * k - 1;
            ll r = min(200000ll, i * (k + 1) - 1);
            ll e = (c[r] - c[l]) * k * i * b[i];
            ans -= e;
        }
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

参考