[AtCoder] ARC 107 C – Shuffle Permutation

2020年11月1日2020年12月12日

問題

方針

例えば、\( 1 \) 行目と \( 2 \) 行目が交換可能であり、\( 1 \) 行目と \( 3 \) 行目が交換可能であるとき、各 \( 1, 2, 3 \) 行の順番を任意に並び替えることができます。したがって列に対しても同じことが言えるので、交換可能な行と列のグループを Union-Find で管理します。また、行を入れ替えたとき列の情報は変わらないので、独立して行と列の操作を行うことができます。

ある行の交換可能なグループのサイズを \( n \) とすると、このグループの操作によって、\( n! \) 通りのパターンが考えられます。なので、全ての行と列の交換可能なグループのサイズの階乗の積が答えとなります。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 998244353;

struct dsu {
  public:
    int group_num;
    dsu() : _n(0) {}
    dsu(int n) : _n(n), parent_or_size(n, -1), group_num(n) {}
    
    int merge(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        int x = leader(a), y = leader(b);
        if (x == y) return x;
        group_num--;
        if (-parent_or_size[x] < -parent_or_size[y]) std::swap(x, y);
        parent_or_size[x] += parent_or_size[y];
        parent_or_size[y] = x;
        return x;
    }
 
    bool same(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        return leader(a) == leader(b);
    }
 
    int leader(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        if (parent_or_size[a] < 0) return a;
        return parent_or_size[a] = leader(parent_or_size[a]);
    }
 
    int size(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        return -parent_or_size[leader(a)];
    }
 
    std::vector<std::vector<int>> groups() {
        std::vector<int> leader_buf(_n), group_size(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            leader_buf[i] = leader(i);
            group_size[leader_buf[i]]++;
        }
        std::vector<std::vector<int>> result(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[i].reserve(group_size[i]);
        }
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[leader_buf[i]].push_back(i);
        }
        result.erase(
            std::remove_if(result.begin(), result.end(),
                           [&](const std::vector<int>& v) { return v.empty(); }),
            result.end());
        return result;
    }
 
  private:
    int _n;
    // root node: -1 * component size
    // otherwise: parent
    std::vector<int> parent_or_size;
};

int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    int a[N][N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    dsu ds1(N);
    for (int x = 0; x < N; x++) {
        for (int y = x + 1; y < N; y++) {
            bool flag = true;
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                if (a[i][x] + a[i][y] > K) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if (flag) ds1.merge(x, y);
        }
    }
    dsu ds2(N);
    for (int x = 0; x < N; x++) {
        for (int y = x + 1; y < N; y++) {
            bool flag = true;
            for (int i = 0; i < N; i++) {
                if (a[x][i] + a[y][i] > K) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if (flag) ds2.merge(x, y);
        }
    }
    ll f[N + 1]{};
    f[0] = 1; 
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        f[i] = (i * f[i - 1]) % mod;
    }
    ll v = 1;
    vector<vector<int>> g1 = ds1.groups();
    vector<vector<int>> g2 = ds2.groups();
    for (int i = 0; i < g1.size(); i++) {
        v *= f[(int)g1[i].size()];
        v %= mod;
    }
    for (int i = 0; i < g2.size(); i++) {
        v *= f[(int)g2[i].size()];
        v %= mod;
    }
    cout << v << "\n";
    return 0;
}