[AtCoder] ABC 178 D – Redistribution

2020年10月12日

問題

方針

非負整数解の個数

非負整数 \( x, y, z \) が

\[ x + y + z = n \]

を満たすとき、\( x, y, z \) の組み合わせは、\( {}_{n} \mathrm{ H }_{2} = {}_{n + 1} \mathrm{ C }_{2} \) となります。これは重複組み合わせの内容です。

問題に当てはめる

\( a_i \geq 3 \) を満たす整数が、

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = S \]

となる \( a_i \) の組み合わせは、

\( b_i \) を非負整数として、次の方程式を考えることと同じです。

\[ b_1 + b_2 + \cdots + b_n = S – 3n\]

上記を満たす \( b_i \) の組み合わせは、\( k = S – 3n \) として、

\[ {}_{k + n – 1} \mathrm{ C }_{n – 1}\]

個あります。したがって、\( 1 \leq n \leq \left \lfloor \dfrac{S}{3} \right \rfloor+ 1 \) の範囲で全探索します。

コード