[AtCoder] ABC 178 D – Redistribution

2020年9月13日2020年12月13日

問題

方針

非負整数解の個数

非負整数 \( x, y, z \) が

\[ x + y + z = n \]

を満たすとき、\( x, y, z \) の組み合わせは、\( {}_{n} \mathrm{ H }_{2} = {}_{n + 1} \mathrm{ C }_{2} \) となります。これは重複組み合わせの内容です。

問題に当てはめる

\( a_i \geq 3 \) を満たす整数が、

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = S \]

となる \( a_i \) の組み合わせは、

\( b_i \) を非負整数として、次の方程式を考えることと同じです。

\[ b_1 + b_2 + \cdots + b_n = S – 3n\]

上記を満たす \( b_i \) の組み合わせは、\( k = S – 3n \) として、

\[ {}_{k + n – 1} \mathrm{ C }_{n – 1}\]

個あります。したがって、\( 1 \leq n \leq \left \lfloor \dfrac{S}{3} \right \rfloor+ 1 \) の範囲で全探索します。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

// a^n mod を計算する
ll modpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 
// a^{-1} mod を計算する
ll modinv(ll a, ll mod) {
    return modpow(a, mod - 2, mod);
}
 
const int MAX = 510000;
const ll MOD = 1000000007;
 
ll fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX];
 
// テーブルを作る前処理
void COMinit() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    finv[0] = finv[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[i] = MOD - inv[MOD%i] * (MOD / i) % MOD;
        finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}
 
// 二項係数計算
ll COM(int n, int k){
    if (n < k) return 0;
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    return fac[n] * (finv[k] * finv[n - k] % MOD) % MOD;
}
int main() {
    int S;
    cin >> S;
    ll ans = 0;
    COMinit();
    for (int i = 1; i < S / 3 + 1; i++) {
        int k = S - 3 * i;
        ans += COM(k + i - 1, i - 1);
        ans %= MOD;
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}