[yukicoder] No. 1243 約数加算

2020年12月12日

問題

方針

\( 2A \leq B \) のとき、\( A \leftarrow 2A \) と可能な限り更新します。このとき、\( A \) は \(2^nA \leq B\) を満たす最大の非負整数 \( n \) を用いて、

\[ A \leftarrow 2^nA \]

と更新したことになります。次に、\( 2^nA + 2^mA \leq B \ (0 \leq m < n)\) を満たす \( m \) を求めて、

\[ A \leftarrow 2^nA + 2^mA\]

と更新します。このような更新を続けると \( A \) は、

\[ A \leftarrow 2^{n_1}A + 2^{n_2}A + \cdots + 2^{n_k}A \ (n_1 > n_2 > \cdots > n_k \geq 0)\]

と更新されることになります。このとき、\( 0 \leq B – A \leq A – 1 \) となります。また、\( B = A \) のとき答え出力します。

次に、\( A \bmod 2 = 1 \) のとき、\( A \leftarrow A + 1 \) と更新します。

ここで、奇数 \( p \) と非負整数 \( l \) を用いて、\( A = 2^lp \) と表すことができます。このとき、\( A \) は \(2^l \) の約数を持ちます。また、奇数 \( q \) を用いて、\( 2^lp + 2^l = 2^{l + 1} q \) と表すことができます。したがって、\( 2^l \) を \( A \) の約数として、\( A + 2^r \leq B \ (0 \leq r \leq l)\) を満たす最大の \( r \) を求めて、\( A \leftarrow A + 2^r \) と更新します。これを \( A = B \) となるまで続けます。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll A, B;
vector<ll> v;

ll my_pow(ll x, ll n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n % 2 == 0) return my_pow(x * x, n / 2);
    return x * my_pow(x, n - 1);
}

ll a;
int t;

void add(int n) {
    t = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (B - a  - A * my_pow(2, i) >= 0) {
            t = i;
        }
    }
    if (t != -1) {
        v.push_back(A * my_pow(2, t));
        a += v.back();
    }
}

void add2() {
    ll k = a;
    int g = 0;
    while (k % 2 == 0 && B - a - my_pow(2, g) >= 0) {
        k /= 2;
        g++;
    }
    if (g == 0) return;
    if (B - a - my_pow(2, g) < 0) g--;
    v.push_back(my_pow(2, g));
    a += my_pow(2, g);
}

void solve() {
    v.clear();
    a = A;
    for (int i = 0; i < 120; i++) {
        if (B >= 2 * a) {
            v.push_back(a);
            a *= 2;
        }
    }
    a = A;
    for (ll i : v) {
        a += i;
    }
    t = v.size();
    for (int i = 0; i < 70; i++) {
        if (t == -1) break;
        add(t);
    }
    if (B - a - A >= 0) {
        v.push_back(A);
        a += A;
    }
    if (a % 2 == 1 && B - a != 0) {
        a++;
        v.push_back(1);
    }

    for (int i = 0; i < 70; i++) {
        add2();
    }
    ll n = A;
    cout << v.size() << "\n";
    for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
        if (i == v.size() - 1) {
            cout << v.back() << "\n";
        } else {
            cout << v[i] << " ";
        }
        n += v[i];
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    for (int i = 0; i < T; i++) {
        cin >> A >> B;
        solve();
    }
    return 0;
}