[AtCoder] HHKB プログラミングコンテスト 2020 E – Lamps

2020年10月11日2020年12月12日

問題

方針

照らされるマスについて

散らかっていないマス \( (i, j) \)に照明を置いたとき、水平方向を照らすマスの数を \( a(i, j) \) とし、垂直方向を照らすマスの数を \( b(i, j) \) とします。このとき、照らされるマスの合計は \( a(i, j) + b(i, j) – 1\) となります。これらは、Union-Find を使うことで求めることができます。つまり、マス \( (i, j)\) と連結なマスの個数が \( a(i, j) + b(i, j) – 1\) 個あるということです。

マス \( (i, j) \) は、\( Wi + j \) とすることで、\( 1 \) 次元配列として扱うことができます。

照明の置き方

散らかっていないマスの個数を \( n \) とします。マス \( (i, j) \) が照らされる照明の置き方は、マス \( (i, j)\) と連結なマスに \( 1 \) 個以上照明を置く場合の数とマス \( (i, j)\) と連結でないマスの照明の置き方の積なので、\( t_i = a(i, j) + b(i, j) – 1 \) として、

\[ (2^{t_i} – 1) 2^{n – t_i}\]

となります。したがって、全ての散らかっていないマスに対して、上記を求めて足し上げます。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 1000000007;

struct dsu {
  public:
    int group_num;
    dsu() : _n(0) {}
    dsu(int n) : _n(n), parent_or_size(n, -1), group_num(n) {}
    
    int merge(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        int x = leader(a), y = leader(b);
        if (x == y) return x;
        group_num--;
        if (-parent_or_size[x] < -parent_or_size[y]) std::swap(x, y);
        parent_or_size[x] += parent_or_size[y];
        parent_or_size[y] = x;
        return x;
    }
 
    bool same(int a, int b) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        assert(0 <= b && b < _n);
        return leader(a) == leader(b);
    }
 
    int leader(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        if (parent_or_size[a] < 0) return a;
        return parent_or_size[a] = leader(parent_or_size[a]);
    }
 
    int size(int a) {
        assert(0 <= a && a < _n);
        return -parent_or_size[leader(a)];
    }
 
    std::vector<std::vector<int>> groups() {
        std::vector<int> leader_buf(_n), group_size(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            leader_buf[i] = leader(i);
            group_size[leader_buf[i]]++;
        }
        std::vector<std::vector<int>> result(_n);
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[i].reserve(group_size[i]);
        }
        for (int i = 0; i < _n; i++) {
            result[leader_buf[i]].push_back(i);
        }
        result.erase(
            std::remove_if(result.begin(), result.end(),
                           [&](const std::vector<int>& v) { return v.empty(); }),
            result.end());
        return result;
    }
 
  private:
    int _n;
    // root node: -1 * component size
    // otherwise: parent
    std::vector<int> parent_or_size;
};

ll modpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll H, W;
    cin >> H >> W;
    string S[H];
    for (int i = 0; i < H; i++) {
        cin >> S[i];
    }
    dsu dH(H * W), dV(H * W);
    for (int i = 0; i < H; i++) {
        for (int j = 0; j < W - 1; j++) {
            int id = W * i + j;
            if (S[i][j] == '.' && S[i][j + 1] == '.') {
                dH.merge(id, id + 1);
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < W; i++) {
        for (int j = 0; j < H - 1; j++) {
            int id = W * j + i;
            if (S[j][i] == '.' && S[j + 1][i] == '.') {
                dV.merge(id, id + W);
            }
        }
    }
    ll n = 0;
    for (int i = 0; i < H; i++) {
        for (int j = 0; j < W; j++) {
            if (S[i][j] == '.') n++;
        }
    }
    
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < H; i++) {
        for (int j = 0; j < W; j++) {
            if (S[i][j] == '#') continue;
            int id = W * i + j;
            ll t = dH.size(id) + dV.size(id) - 1;
            ans = (ans + (modpow(2, t, mod) - 1) * modpow(2, n - t, mod) + mod) % mod;
        }
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}