[AtCoder] Educational DP Contest E – Knapsack 2

問題

方針

商品の重さの最大値が \( 10^9\) なので、添え字で重さを管理して考えるのはメモリ的にきついので、別の方法を考えます。価値を添え字で管理することを考えます。\( d(i, j)\) を商品 \( i \) まで調べたとき、価値の総和が \( j \) であるときのナップザックの重さとします。初期値は、\( d(0, 0) = 0\) でそれ以外は、\( d(i, j) = \infty \) とします。 また、価値の総和の最大値は \( 10^5 \) であることに注意します。この配列の更新式は、

  • \(d(i, j) \neq \infty\) のとき

\[
\begin{eqnarray}
d(i + 1, j) &=& \min(d(i, j) , d(i + 1, j))\\
d(i + 1, j + v_i) &=& min(d(i + 1, j + v_i), d(i, j) + w_i)
\end{eqnarray}
\]

となります。答えは、\(d[N][i] \leq W \) を満たす最大の \( i \) となります。また、\( d(i, j) + w_i > W\) となる商品 \( i \) は考慮しなくてよいので、更新時に省きます。

コード