[AtCoder] ABC 156 E – Roaming

2020年2月28日2020年12月15日

方針

方針

部屋 \( i \) にいる人の数を \( a_i \) とすると、

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = n\]

が成り立ちます。このとき、\( a_i \geq 0 \) を満たす整数解は、\( {}_{2n – 1} \mathrm{ C }_{n} \) 個あります。これは重複組み合わせの分野の知識です。どのような \( k \) のときに、\( a_i \) を任意に決定できるかを考えると、\( n – 1 \) 人が任意の部屋に移動することで実現可能なので、\( k \geq n – 1 \) のとき、\(  {}_{2n – 1} \mathrm{ C }_{n} \) です。

\( 2 \leq k \leq n – 2\) のとき

部屋の人数が \( 0 \) となるときの部屋の数を \( i \ (0 \leq i \leq k)\) とします。 \( i = 0 \) のときは、 部屋 \( 1 \) にいた人が \( k \) 回目の移動で部屋 \( 1 \) に戻ってくれば達成できます。それ以外のとき、\( n \) 個の部屋から \( i \) 個の部屋を \( 0 \) とする組み合わせは、\( {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \) 通りあります。このとき、\( i \) 人が合わせて \( k \) 回移動したときの組み合わせは、

\[ b_1 + b_2 + \cdots + b_{n – i} = i\]

を満たす整数解の個数となるので、\( {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \times {}_{n – 1} \mathrm{ C }_{i} \) となります。これは、部屋 \( n – i + 1 \) から 部屋 \( n \) の人が、部屋 \( 1 \) から部屋 \( n – i　\) の部屋に任意に移動することを考えています。よって、求める答えは、

\[ 1 + \sum_{i=1}^{k} {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \times {}_{n – 1} \mathrm{ C }_{i}\]

となります。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

// a^n mod を計算する
ll modpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 
// a^{-1} mod を計算する
ll modinv(ll a, ll mod) {
    return modpow(a, mod - 2, mod);
}
 
const int MAX = 510000;
const ll MOD = 1000000007;
 
ll fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX];
 
// テーブルを作る前処理
void COMinit() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    finv[0] = finv[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[i] = MOD - inv[MOD%i] * (MOD / i) % MOD;
        finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}
 
// 二項係数計算
ll COM(int n, int k){
    if (n < k) return 0;
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    return fac[n] * (finv[k] * finv[n - k] % MOD) % MOD;
}

int main() {
    ll n, k;
    cin >> n >> k;
    COMinit();
    if (k >= n - 1) {
        cout << COM(2 * n - 1, n) << "\n";
    } else {
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            // H(n - i, i) = C(n - 1, i)
            ans += COM(n, i) * COM(n - 1, i);
            ans %= MOD;
        }
        ans++;
        cout << ans % MOD << "\n";
    }
    
    return 0;

}