[AtCoder] ABC 156 E – Roaming

方針

方針

部屋 \( i \) にいる人の数を \( a_i \) とすると、

\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = n\]

が成り立ちます。このとき、\( a_i \geq 0 \) を満たす整数解は、\( {}_{2n – 1} \mathrm{ C }_{n} \) 個あります。これは重複組み合わせの分野の知識です。どのような \( k \) のときに、\( a_i \) を任意に決定できるかを考えると、\( n – 1 \) 人が任意の部屋に移動することで実現可能なので、\( k \geq n – 1 \) のとき、\(  {}_{2n – 1} \mathrm{ C }_{n} \) です。

\( 2 \leq k \leq n – 2\) のとき

部屋の人数が \( 0 \) となるときの部屋の数を \( i \ (0 \leq i \leq k)\) とします。 \( i = 0 \) のときは、 部屋 \( 1 \) にいた人が \( k \) 回目の移動で部屋 \( 1 \) に戻ってくれば達成できます。それ以外のとき、\( n \) 個の部屋から \( i \) 個の部屋を \( 0 \) とする組み合わせは、\( {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \) 通りあります。このとき、\( i \) 人が合わせて \( k \) 回移動したときの組み合わせは、

\[ b_1 + b_2 + \cdots + b_{n – i} = i\]

を満たす整数解の個数となるので、\( {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \times {}_{n – 1} \mathrm{ C }_{i} \) となります。これは、部屋 \( n – i + 1 \) から 部屋 \( n \) の人が、部屋 \( 1 \) から部屋 \( n – i \) の部屋に任意に移動することを考えています。よって、求める答えは、

\[ 1 + \sum_{i=1}^{k} {}_{n} \mathrm{ C }_{i} \times {}_{n – 1} \mathrm{ C }_{i}\]

となります。

コード