[AtCoder] ABC 151 E – Max-Min Sums

2020年1月14日2020年12月15日

問題

方針

配列 \( A \) の順序は影響しないので、昇順に並び替えます。\( {}_{N} \mathrm{ C }_{K} \) 個の組み合わせの中で、最大値と最小値を求めます。最小値の総和を \( f_1 \) とし、最大値の総和を \( f_2 \) とすると、\( f(S) = f_2 – f_1 \) と計算できます。

まず、最小値について考えます。\( i \) 番目の要素が最小となる組み合わせを考えます。例えば、\( 1 \) 番目の要素が最小となる組み合わせは、\( N – 1 \) 個の要素から \( K – 1 \) 個の要素を取り出すことを考えると、\( {}_{N-1} \mathrm{ C }_{K-1} \) 通りあることが分かります。同様に \( 2 \) 番目の要素が最小となる組み合わせは、\( {}_{N-2} \mathrm{ C }_{K-1} \)  となるので、\( f_1 \) は、

\[ f_1 = \sum_{i = 1}^{N-K+1} A_i \times {}_{N-i} \mathrm{ C }_{K-1}\]

となります。最大値も同様にして求めると、

\[ f_2 = \sum_{i = K}^{N} A_{i} \times {}_{i – 1} \mathrm{ C }_{K-1}\]

となります。

コード

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

// a^n mod を計算する
ll modpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 
// a^{-1} mod を計算する
ll modinv(ll a, ll mod) {
    return modpow(a, mod - 2, mod);
}
 
const int MAX = 510000;
const ll MOD = 1000000007;
 
ll fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX];
 
// テーブルを作る前処理
void COMinit() {
    fac[0] = fac[1] = 1;
    finv[0] = finv[1] = 1;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[i] = MOD - inv[MOD%i] * (MOD / i) % MOD;
        finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}
 
// 二項係数計算
ll COM(int n, int k){
    if (n < k) return 0;
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    return fac[n] * (finv[k] * finv[n - k] % MOD) % MOD;
}

int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    vector<ll> A(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> A[i];
    }
    sort(A.begin(), A.end());
    COMinit();
    ll f_max = 0;
    ll f_min = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        f_min += A[i] * COM(N - i - 1, K - 1);
        f_min %= MOD;
    }
    for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
        f_max += A[i] * COM(i, K - 1);
        f_max %= MOD;
    }
    cout << (f_max - f_min + 2 * MOD) % MOD << "\n";
    
    return 0;
}