[AtCoder] ABC 151 E – Max-Min Sums

問題

方針

配列 \( A \) の順序は影響しないので、昇順に並び替えます。\( {}_{N} \mathrm{ C }_{K} \) 個の組み合わせの中で、最大値と最小値を求めます。最小値の総和を \( f_1 \) とし、最大値の総和を \( f_2 \) とすると、\( f(S) = f_2 – f_1 \) と計算できます。

まず、最小値について考えます。\( i \) 番目の要素が最小となる組み合わせを考えます。例えば、\( 1 \) 番目の要素が最小となる組み合わせは、\( N – 1 \) 個の要素から \( K – 1 \) 個の要素を取り出すことを考えると、\( {}_{N-1} \mathrm{ C }_{K-1} \) 通りあることが分かります。同様に \( 2 \) 番目の要素が最小となる組み合わせは、\( {}_{N-2} \mathrm{ C }_{K-1} \)  となるので、\( f_1 \) は、

\[ f_1 = \sum_{i = 1}^{N-K+1} A_i \times {}_{N-i} \mathrm{ C }_{K-1}\]

となります。最大値も同様にして求めると、

\[ f_2 = \sum_{i = K}^{N} A_{i} \times {}_{i – 1} \mathrm{ C }_{K-1}\]

となります。

コード