[AtCoder] ABC 132 D – Blue and Red Balls

問題

方針

赤いボールの個数を \( a = N – K \) とします。まず初めに、青いボールを一列に並べておきます。

\( i \) 回操作するために必要なボールの冗長でない置き方

\( i = 1 \) のとき

\( i = 1 \) のとき、青いボールはすべて連続して並んでいる必要があるので、赤いボールは連続した青いボールを一つの塊として見た時、左か右に置かなければいけません。

\( i \geq 2 \) のとき

青いボールの間は \( K – 1 \) 箇所存在します。青いボールの隙間に一つ赤いボールを挿入すると、操作回数が \( 1 \) 増えることに着目して考えます。\(K – 1 \) 箇所に赤いボールを一つずつ挿入すると、操作回数は \( K \) となります。また、一つも挿入しないときは、\( i = 1 \) のときに当たります。

よって、\( i \) 回操作するために必要なボールの挿入の仕方は、\( {}_{K – 1} \mathrm{ C }_{i – 1}\) となります。ここで、\( i \) 回操作を行うために必要な赤いボールの数は \( i – 1\) 個であることに注意します。

\( i \) 回操作するために使用しなかったボールの置き方

\( i \) 回操作するために必要な赤いボールを除いた残りの赤いボールの数は \( a – (i – 1) \) 個となります。青いボールの一番左と右にボールを置いても、操作回数は増えず、すでに青いボールの隙間に赤いボールが挿入されている箇所に追加で赤いボールを挿入しても操作回数は増えません。よって、ボールを置くことができる箇所は、\( 2 + i – 1 = i + 1\) となります。このことを利用すると、残りのボールの置き方は、

\[x_1 + x_2 + \cdots + x_{i + 1} = a – i + 1 \ (0\leq x_j \ (1 \leq j \leq i + 1)) \]

を満たす、\( 0 \) 以上の整数解の組み合わせになります。ここで、\( x_1 \) は青いボールの一番左側に置かれる赤いボールの個数であり、\( x_{i + 1} \) は一番右側に置かれる赤いボールの個数です。それ以外の \( x_j \) は、既に赤いボールが挿入されている箇所にあらたに、挿入される赤いボールの個数となります。

\( x_j\) の組み合わせは一般に知られていて、例題としてこちらを見てください。残りの赤いボールの置き方は、\( {}_{a + 1} \mathrm{ C }_{i}\) となります。

\( i \) 回操作をする必要があるボールの並べ方

上記より、求める答えは、\( a + 1 < i\) のとき、\( 0 \) そうではないとき、\( {}_{K – 1} \mathrm{ C }_{i – 1} \times {}_{a + 1} \mathrm{ C }_{i}\) となります。

コード