[AtCoder] ABC 132 D – Blue and Red Balls
問題
方針
赤いボールの個数を \( a = N – K \) とします。まず初めに、青いボールを一列に並べておきます。
\( i \) 回操作するために必要なボールの冗長でない置き方
\( i = 1 \) のとき
\( i = 1 \) のとき、青いボールはすべて連続して並んでいる必要があるので、赤いボールは連続した青いボールを一つの塊として見た時、左か右に置かなければいけません。
\( i \geq 2 \) のとき
青いボールの間は \( K – 1 \) 箇所存在します。青いボールの隙間に一つ赤いボールを挿入すると、操作回数が \( 1 \) 増えることに着目して考えます。\(K – 1 \) 箇所に赤いボールを一つずつ挿入すると、操作回数は \( K \) となります。また、一つも挿入しないときは、\( i = 1 \) のときに当たります。
よって、\( i \) 回操作するために必要なボールの挿入の仕方は、\( {}_{K – 1} \mathrm{ C }_{i – 1}\) となります。ここで、\( i \) 回操作を行うために必要な赤いボールの数は \( i – 1\) 個であることに注意します。
\( i \) 回操作するために使用しなかったボールの置き方
\( i \) 回操作するために必要な赤いボールを除いた残りの赤いボールの数は \( a – (i – 1) \) 個となります。青いボールの一番左と右にボールを置いても、操作回数は増えず、すでに青いボールの隙間に赤いボールが挿入されている箇所に追加で赤いボールを挿入しても操作回数は増えません。よって、ボールを置くことができる箇所は、\( 2 + i – 1 = i + 1\) となります。このことを利用すると、残りのボールの置き方は、
\[x_1 + x_2 + \cdots + x_{i + 1} = a – i + 1 \ (0\leq x_j \ (1 \leq j \leq i + 1)) \]
を満たす、\( 0 \) 以上の整数解の組み合わせになります。ここで、\( x_1 \) は青いボールの一番左側に置かれる赤いボールの個数であり、\( x_{i + 1} \) は一番右側に置かれる赤いボールの個数です。それ以外の \( x_j \) は、既に赤いボールが挿入されている箇所にあらたに、挿入される赤いボールの個数となります。
\( x_j\) の組み合わせは一般に知られていて、例題としてこちらを見てください。残りの赤いボールの置き方は、\( {}_{a + 1} \mathrm{ C }_{i}\) となります。
\( i \) 回操作をする必要があるボールの並べ方
上記より、求める答えは、\( a + 1 < i\) のとき、\( 0 \) そうではないとき、\( {}_{K – 1} \mathrm{ C }_{i – 1} \times {}_{a + 1} \mathrm{ C }_{i}\) となります。
コード
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; // a^n mod を計算する ll modpow(ll a, ll n, ll mod) { ll res = 1; while (n > 0) { if (n & 1) res = res * a % mod; a = a * a % mod; n >>= 1; } return res; } // a^{-1} mod を計算する ll modinv(ll a, ll mod) { return modpow(a, mod - 2, mod); } const int MAX = 510000; const int MOD = 1000000007; ll fac[MAX], finv[MAX], inv[MAX]; // テーブルを作る前処理 void COMinit() { fac[0] = fac[1] = 1; finv[0] = finv[1] = 1; inv[1] = 1; for (int i = 2; i < MAX; i++){ fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD; inv[i] = MOD - inv[MOD%i] * (MOD / i) % MOD; finv[i] = finv[i - 1] * inv[i] % MOD; } } // 二項係数計算 ll COM(int n, int k){ if (n < k) return 0; if (n < 0 || k < 0) return 0; return fac[n] * (finv[k] * finv[n - k] % MOD) % MOD; } int main() { cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); ll N, K; cin >> N >> K; ll d = pow(10, 9) + 7; COMinit(); int a = N - K; for (int i = 1; i <= K; i++) { if (a + 1 < i) { cout << 0 << "\n"; } else { ll t = COM(K - 1, i - 1); ll k = a - (i - 1); ll b = COM(k + i, i) * t; b %= d; cout << b << "\n"; } } return 0; }
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